Sistemas de numeração

No seu crescimento, a informática teve a necessidade de se adaptar para simplificar a criação de hardwares e softwares mais rápidos e simples. Em alguns cursos de informática básica é comum ouvir que as máquinas utilizam a linguagem de máquina (código binário) para se comunicar. Porém esta lógica faz parte de um sistema de numeração, que por sua vez é um assunto mais complexo que será discutido neste artigo.

Antes de tudo, é necessário compreender o que é um sistema de numeração. Segundo Leite (2005) Sistema de Numeração é a forma de representar dados numéricos através de números, caracteres ou símbolos, dependendo da forma de escrita utilizada. Em um sistema de numeração a base representa a quantidade de algarismos (símbolos) diferentes que esta possui.

Ainda segundo Leite (2005) os sistemas mais primitivos de numeração criados pela humanidade estão presentes nos tempos das cavernas. Tais sistemas baseavam-se em contagem por pedras ou pelo numero de dedos ou falanges das mãos. Tanto que curiosamente a origem da palavra "dígito" é a palavra dedo. 

Com o crescimento da necessidade de representação de números cada vez maiores, foi necessário a criação um mecanismo que permitisse a representação de grandes números utilizando poucos símbolos. Por esta necessidade foi criada o que se chama o princípio da base. Sua descoberta marcou o nascimento dos sistemas de numeração, sistemas cuja “base” nada mais é do que o número de unidades que é necessário agrupar no interior de uma ordem dada para formar uma unidade de ordem imediatamente superior. 

Veja um pouco mais de história sobre sistemas de numerações nesse vídeo incrível o professor Rafael:

As principais bases utilizadas

A base 2

A base 2 é diferente do sistema utilizado cotidianamente pelas pessoas. Diferentemente do sistema decimal que possuem 10 formas diferentes para representação numérica a base 2 só tem o "0" e o "1". Apesar de não ser amigável ao uso do ser humano esta base é bastante utilizada na programação de microprocessadores e outros componentes eletrônicos pela simplicidade de sua representação. 

Este sistema de numeração possui a característica de ser posicional, ou seja, os números binários em sua representação são consideradas as posições onde eles se apresentam. Caso esta ordem seja alterada o número será alterado. Por exemplo: 

O número binário: 001100 é completamente diferente do número 011000.

Na informática a menor porção de dados possível de ser representada é exatamente a medida denominada bit. Esta medida corresponde a um número binário seja ele o 0 ou o 1.

A base 10

O sistema numérico denominado Decimal, conta com dez dígitos. Sendo eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A contribuição de cada numero neste sistema também depende da posição ocupada por ele no número. Ex: o número 323 é completamente diferente do numero 233.

A base 8

O sistema de números octais tem a base igual a 8, onde todos estes dígitos são do sistema decimal. Os dígitos usados neste sistema são: 0,1,2,3,4,5,6,7. 

A base 16

O sistema hexadecimal possui 16 dígitos disponíveis, sendo eles os dígitos do sistema decimal e as seis primeiras letras do alfabeto: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Este sistema também é posicional e cada uma das letras do alfabeto representam os seguintes valores:

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

O sistema de números hexadecimais é muito usado em projetos de hardware e software, já que estes representam grupos de dígitos binários, facilitando a representação de códigos binários. É usual representar quantidades usando sistemas em potências do binário, para reduzir o número de algarismos da representação.

Conversões entre bases

A qualquer base para a decimal

Formula: soma dos símbolos x Base ^ Posição

Para fazer a somatória é necessário usar do mais significativo (MSB) para o menos significativo (LSB). Ex: No número binário 100100 o número 1 mais a esquerda é o mais significativo e o mais a direita é o menos significativo.

Exemplo de conversão de binário para decimal

Qualquer número em qualquer base pode ser convertido para a base decimal através desta fórmula. Entretanto é importante ressaltar que quando o número em outra base é fracionário a posição deve seguir os números negativos. 

Decimal para binária

A conversão dos números decimais para o sistema binário é feita através de divisões sucessivas por 2. O número binário é extraído juntando simplesmente os restos das divisões.

Binária para Decimal

Veja esse vídeo explicativo de como converter da base binária para decimal:

Decimal para Octal

Pode-se usar também o método de divisões sucessivas para realizar a representação dos números decimais em octais.

Em grande parte dos casos a conversão de bases ocorre convertendo as bases para números binários ou decimais. Ex: Octal para decimal e logo após decimal para binária.

Conclusão

Alguns autores buscaram formas cada vez mais simples de facilitar a conversão de bases, buscando melhorar entendimento da aritmética computacional. Porém, independente do método utilizado, fica claro que a necessidade de sistemas numéricos para representação de números é uma característica importante da ciência da computação. 

As aplicações destes sistemas se estendem desde a programação de baixo nível, por exemplo, o endereçamento de memória. Até mesmo a programação de alto nível que consome e interpreta o sistema de cores RGB em números Hexadecimais.

Referências

Leite, Cícero Alves, and Renata Aparecida Monteiro. "SISTEMA DE NUMERAÇÃO."